在研究某市场交通情况时,道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间,车辆密度是该路段一定时间内通过的车...
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在研究某市场交通情况时,道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间,车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度,现定义交通流量为v=,x为道路密度,q为车辆密度.
v=f(x)=.
(1)若交通流量v>95,求道路密度x的取值范围;
(2)已知道路密度x=80,交通流量v=50,求车辆密度q的最大值.
【回答】
(1)(3,40) (2)
【解析】解:(1)∵v=,∴v越大,x越小,
∴v=f(x)是单调递减函数,k>0,
当40≤x≤80时,v最大为85,
于是只需令100−135•()x>95,解得x>3,
故道路密度x的取值范围为(3,40).
(2)把x=80,v=50代入v=f(x)=-k(x-40)+85中,
得50=-k•40+85,解得k=.
∴q=vx=,
当0<x<40时,q单调递增,q<100×40-135×()40×40≈4000;
当40≤x≤80时,q是关于x的二次函数,开口向下,对称轴为x=,
此时q有最大值,为−×()2+120×=>4000.
故车辆密度q的最大值为
【考点】根据实际问题选择函数类型.几类不同增长的函数模型的特点
【专题】分类讨论;数学模型法;函数的*质及应用;逻辑推理.
【分析】(1)易知v越大,x越小,所以v=f(x)是单调递减函数,k>0,于是只需令100−135•()x>95,解不等式即可;
(2)把x=80,v=50代入v=f(x)的解析式中,求出k的值,利用q=vx可得到q关于x的函数关系式,分段判断函数的单调*,并求出各自区间上q的最大值,取较大者即可.
【点评】本题考查分段函数的实际应用,考查学生分析问题和解决问题的能力,以及运算能力,属于中档题.
知识点:函数的应用
题型:解答题
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