定义:有两条边长的比值为的直角三角形叫“潜力三角形”.如图,在△ABC中,∠B=90°,D是AB的中点,E是C...
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定义:有两条边长的比值为的直角三角形叫“潜力三角形”.如图,在△ABC中,∠B=90°,D是AB的中点,E是CD的中点,DF∥AE交BC于点F.
(1)设“潜力三角形”较短直角边长为a,斜边长为c,请你直接写出的值为 ;
(2)若∠AED=∠DCB,求*:△BDF是“潜力三角形”;
(3)若△BDF是“潜力三角形”,且BF=1,求线段AC的长.
【回答】
(1)解:分两种情况:
①当=时, =2;
②设另一条直角边长为b,当=时,b=2a,
∵∠B=90°,
∴c==a,
∴=;
故*为:2或;
(2)*:延长AE交BC于G,如图所示:
∵DF∥AE,D是AB的中点,
∴∠AED=∠CDF,BF=GF,
∵∠AED=∠DCB,
∴∠CDF=∠DCB,
∴DF=CF,
∵DF∥AE,E是CD的中点,
∴CG=GF,
∴BF=GF=CG,
∴DF=CF=2GF=2BF,
∴=,
又∵∠B=90°,
∴△BDF是“潜力三角形”;
(3)解:延长AE交BC于G,如图所示.
分四种情况:
①当=时,
∵BF=1,
∴GF=CG=BF=1,BD=2,
∴AB=2BD=4,BC=3,
∴AC===5;
②当=2时,DF=2BF=2,
∴BD===,
∴AB=2BD=2,
∵BC=3,∠B=90°,
∴AC===;
③当=时,BD=BF=,
∴AB=2BD=1,
∵BC=3,∠B=90°,
∴AC===;
④当=时,
设BD=x,则DF=2x,
由勾股定理得:(2x)2﹣x2=12,
解得:x=,
∴AB=2BD=,[来源:Z§xx§]
∵BC=3,∠B=90°,
∴AC===;
综上所述:若△BDF是“潜力三角形”,且BF=1,线段AC的长为5或或或.
知识点:勾股定理
题型:解答题
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