在△ABC的边BC上取B′、C′两点,使∠AB′B=∠AC′C=∠BAC.(1)如图1中∠BAC为直角,∠BA...
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在△ABC的边BC上取B′、C′两点,使∠AB′B=∠AC′C=∠BAC.
(1)如图1中∠BAC为直角,∠BAC=∠AB′B=∠AC′C=90°(点B′与点C′重合),则△ABC∽△B'BA∽△C'AC,,,进而可得AB2+AC2= ;
(2)如图2中当∠BAC为锐角,图3中∠BAC为钝角时(1)中的结论还成立吗?若不成立,则AB2+AC2等于什么(用含用BC和B′C′的式子表示)?并说明理由.
(3)若在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=9,请你先判断出△ABC的类型,再求出B′C′的长.
【回答】
解:(1)如图1中,
∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC,
∴=,=,
∴AB2=BB′×BC,AC2=CC′×BC,
∴AB2+AC2=BC(BB′+CC′)=BC×BC=BC2,
故*为BC2.
(2)不成立.
理由:如图2中当∠BAC为锐角时,BB′+CC′﹣B′C′=BC,且△ABC∽△B'BA∽△C'AC,
∴∴=,=,
∴AB2=BB′×BC,AC2=CC′×BC,
∴AB2+AC2=BC(BB′+CC′)=BC2+BC•B′C′.
图3中∠BAC为钝角时,BB′+CC′+B′C′=BC.
AB2+AC2=BC(BB′+CC′)=BC2﹣BC•B′C′.
(3)当AB=5,AC=6,BC=9时,则AB2+AC2<BC2,可知△ABC为钝角三角形,
由图3可知:AB2+AC2=BC2﹣BC•B′C′,
∴52+62=92﹣9B′C′,
∴B′C′=.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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