椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A,B两点,过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为,则的值为( ...
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椭圆mx2+ny2=1与直线x+y﹣1=0相交于A,B两点,过AB中点M与坐标原点的直线的斜率为,则的值为( )
A. B. C.1 D.2
【回答】
A【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【专题】计算题.
【分析】(法一)设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0)由①,②及M,N在椭圆上,可得利用点差法进行求解
(法二)M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),联立方程.,利用方程的根与系数的关系可求x1+x2,进而可求y1+y2=2﹣(x1+x2),由中点坐标公式可得,,,由题意可知,从而可求
【解答】解:设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),
∴①,
kMN=②,
由AB 的中点为M可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
由M,N在椭圆上,可得,
两式相减可得m(x1﹣x2)(x1+x2)+n(y1﹣y2)(y1+y2)=0③,
把①②代入③可得m(x1﹣x2)•2x0﹣n(x1﹣x2)•2y0=0③,
整理可得
故选A
(法二)设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0)
联立方程可得(m+n)x2﹣2nx++n﹣1=0
∴x1+x2=,y1+y2=2﹣(x1+x2)=
由中点坐标公式可得, =, =
∵M与坐标原点的直线的斜率为
∴=
故选A
【点评】题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系,在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个:①联立直线与椭圆,根据方程求解;②利用“点差法”,而第二种方法可以简化运算,注意应用
知识点:圆锥曲线与方程
题型:选择题
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