某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2...
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问题详情:
某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部△CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(*影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
(1)当MN和AB之间的距离为0.5米时,求此时△EMN的面积;
(2)设MN与AB之间的距离为x 米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;
(3)请你探究△EMN的面积S(平方米)有无最大值,若有,请求出这个最大值;若没有,
请说明理由.
【回答】
(1)由题意,当MN和AB之间的距离为0.5米时,MN应位于DC下方,且此时△EMN中MN=AB=2米,MN边上的高为0.5米.
所以,S△EMN= =0.5(平方米).
即△EMN的面积为0.5平方米. ………………………………………………2分
(2)①当MN在矩形区域滑动时,即0<x≤1时,
此时MN=AB=2米
∴△EMN的面积S=; ………………………………………………2分
②当MN在三角形区域滑动,即1<x< 时.如图,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,
∵ E为AB中点,
∴易得 F为CD中点,
GF⊥CD,且FG= .
∴GH=
又∵ MN∥CD,
∴ △MNG∽△DCG.
∴ ,
∴,即.
故△EMN的面积S=
=
=; ………………………………………………2分
(3)①当MN在矩形区域滑动时,
S=, ,所以当=1时,有S最大= 1; ………………………………………………2分
②当MN在三角形区域滑动时,
S=,(1<x<).
所以,当=时,有S最大=
综合①、②得:当=时,S的最大值为 平方米.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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