设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论正确的是　(　　)A.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增B.函...

问题详情：

设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论正确的是　(　　)

A.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增

B.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减

C.若b=-6,则函数f(x)的图象在点处的切线方程为y=10

D.若b=0,则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点

【回答】

C.因为f(x)=x3-12x+b,

所以f′(x)=3x2-12,

令f′(x)>0,即3x2-12>0,

所以x<-2或x>2,

所以函数f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上为增函数,

令f′(x)<0,即3x2-12<0,

所以-2<x<2,

所以函数f(x)在(-2,2)上为减函数,

所以排除A,B;

当b=-6时,f(x)=x3-12x-6,f(-2)=-8+24-6=10,所以曲线的切点为(-2,10),

因为f′(x)=3x2-12,所以k=f′(-2)=0,

所以y=10,故C正确;

当b=0时,f(x)=x3-12x,

所以f′(x)=3x2-12=0,所以x=±2,

所以函数f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上为增函数,在(-2,2)上为减函数,且f(-2)=16,f(2)=-16,

所以函数f(x)的极大值为16,极小值为-16,所以函数f(x)的图象与直线y=10有三个公共点,故D错.

知识点：*与函数的概念

题型：选择题