問題情境：小明和小穎在吃*淇淋時，對其所用的一次*紙杯（如圖1）產生了興趣，決定對製做這種紙杯的相關問題進行研...

問題詳情：

問題情境：

小明和小穎在吃*淇淋時，對其所用的一次*紙杯（如圖1）產生了興趣，決定對製做這種紙杯的相關問題進行研究，他們發現紙杯是圓臺形狀（即一個大圓錐截去一個小圓錐後餘一的部分，如圖2），並測得杯口直徑AB=8cm，杯底直徑CD=6cm，杯壁母線長AC=BD=6cm，說明：整個探究過程中均忽略紙杯的接接部分和紙杯的厚度．

數學理解：

（1）爲進一步探究問題的本質，小穎畫出紙杯的側面展開的大致圖形，如圖3，得到的圖形是圓環的一部分，那麼，圖3中的長爲　　cm，的長爲　　cm．

（2）小明認爲，要想準確畫出紙杯的側面展開圖，需要確定圖3中和所在圓的半徑OE，OF的長以及圓心角∠BOE的度數，小穎根據弧長的計算公式猜想得到=，請你*這個結論，並根據這個結論，求所在圓的半徑OF及它所對的圓心角∠BOE的度數．

問題解決：

（3）明確了紙杯側面展開圖的有關數據和圖形的*質後，他們繼續探究將原材料截前成紙杯側面的方案，並給出了方案，將原材料剪成矩形紙片，再按如圖4所示的方式剪出這個紙杯的側面，其中，扇形OBE的與矩形GHMN的邊GH相切於點P，點P是的中點，點B，E，F，D均在矩形的邊上，請直接寫出矩形紙片的長和寬．

【回答】

【考點】圓的綜合題．

【分析】（1）立體平面圖形轉化中，可見的長即爲杯口圓的周長，而的長即爲杯底圓的周長．由已知杯口直徑AB=8cm，杯底直徑CD=6cm，結論易得．

（2）求*=，一般我們都考慮分別用OE，OF表示出的長和的長，然後相除後再找其與的關係．

    求OF，題中已提示利用上述公式．因爲（1）我們已知等式的左邊，右邊OE可否用OF表示呢？觀察圖已知，OE=OF+杯壁母線長，又杯壁母線長AC=BD=6cm，所以結果易得．

（3）求矩形紙片的長與寬，直接考慮都在扇形外，所以可以考慮轉化到扇形中，由P爲圓的切點，一般連接圓心與切點，如是連接OP，連接BE，記兩線交於Q，記OP與MN交於點R．此時BE即爲矩形的長，PR即爲矩形的寬，其中又由圓心角爲60°，易得△OBE爲等邊三角形，則BE可求．同時△ROF爲含30°角的直角三角形，邊長易得，進而PR易得．

【解答】解：

（1）8π，6π．

（2）*：設與所對的圓心角爲n°．

∴的長==，的長==，

∴==．

∵OE=OF+6，的長=8π，的長=6π，

∴=，

解得，OF=18，

∴OE=OF+6=18+6=24．

∵的長==6π，OF=18，

∴n=60．

所以，所在圓的半徑OF等於18cm，它所對的圓心角的度數爲60°．

（3）

答：矩形紙片的長GH=24cm，寬GN=cm．

分析如下：

在圖4中，連接OP，連接BE，兩線交於Q，OP與MN交於點R．此時由圖形對稱可知，PO⊥BE，PO⊥NM，

∵OB=OE，∠BOE=60°，

∴△BOE爲等邊三角形，則BE=OE=24，

∴矩形紙片的長GH=24cm．

∵∠BOE=60°，

∴∠FOR=30°，

在Rt△FOR中，

∵OF=18，

∴RF=9，

∴OR=9，

∴PR=OP﹣OR=24﹣9，

∴矩形紙片的寬GN=cm．

知識點：弧長和扇形面積

題型：解答題