定義在D上的函數f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數M≥0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的...
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問題詳情:
定義在D上的函數f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數M≥0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數,其中M稱爲函數f(x)的一個上界.已知函數,.
(1)求函數f(x)在區間上的所有上界構成的*;
(2)若函數g(x)在[0,+∞)上是以7爲上界的有界函數,求實數a的取值範圍.
【回答】
【解析】
(1)首先求出函數在區間的單調*,再根據單調*即可求出函數的值域,從而求出函數在區間上的所有上界構成的*.
(2)將問題轉化爲在上恆成立,透過換元法求出相應的最值即可求出的取值範圍.
【詳解】(1),
由複合函數的單調*法則易知,函數在上單調遞減,
∴函數在區間上單調遞減,
∴函數在區間上的值域爲,
∴,
∴函數在區間上所有上界構成的*爲.
(2)由題意知,在上恆成立,即,
則,
∴在上恆成立,
設, ,.
易知,在上爲增函數,故,
由知,當時,,爲減函數,
故,
綜上,實數的取值範圍爲.
【點睛】本題主要考查了函數的新定義問題,同時考查了函數的單調*和函數的值域問題,換元法求函數的值域爲解題的關鍵,屬於難題.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題
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