已知數列{an}的前n項和爲Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差數列{bn}中，bn＞0(...

問題詳情：

 已知數列{an}的前n項和爲Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差數列{bn}中，bn＞0(n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15， 3、b27成等比數列．

(1)求數列{an}、{bn}的通項公式；

(2)求數列{an·bn}的前n項和Tn，

【回答】

 (1)bn＝2n＋1(n∈N*)；(2)Tn＝n·3n.

【解析】(1) ∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，

∴an＝2Sn－1＋1(n∈N*，n＞1)， ∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，

即an＋1－an＝2an， ∴an＋1＝3an(n∈N*，n＞1)．

而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1.

∴ 數列{an}是以1爲首項，3爲公比的等比數列，

∴an＝3n－1(n∈N*)．

在等差數列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15，∴b2＝5.

又3、b27成等比數列，得b4＝±9，又bn>0，故公差d>0,所以b4＝9，d＝2，

又b2＝5，∴bn＝2n＋1(n∈N*)．

(2) 由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)·3n－2＋(2n＋1)3n－1，①

∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②

∴①－②得 －2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)3n

＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)3n

＝3＋2×－(2n＋1)3n＝3n－(2n＋1)3n＝－2n·3n.

∴Tn＝n·3n.

知識點：數列

題型：解答題