已知函數，其中為常數.若曲線在處的切線在兩座標軸上的截距相等，求的值；若對，都有，求的取值範圍.

問題詳情：

已知函數，其中為常數.

若曲線在處的切線在兩座標軸上的截距相等，求的值；

若對，都有，求的取值範圍.

【回答】

【解析】

【分析】

（1）求出切點座標，寫出切線方程，利用切線在兩座標軸上的截距相等，求得a即可．

（2）對a分類討論，易判斷當或當時，在區間內是單調的，根據單調*得出結論，當時，在區間內單調遞增，在區間內單調遞減， 故，又因為，成立.而的最大值為，將最大值構造新函數，通過導函數的符號判斷函數的單調*求解函數的最值，然後求解結果．

【詳解】求導得，所以.

又，所以曲線在處的切線方程為.

由切線在兩座標軸上的截距相等，得，解得即為所求.

對，，所以在區間內單調遞減.

①當時，，所以在區間內單調遞減，故，由恆成立，得，這與矛盾，故舍去.

②當時，，所以在區間內單調遞增，故，即，由恆成立得，結合得.

③當時，因為，，且在區間上單調遞減，結合零點存在定理可知，存在唯一，使得，且在區間內單調遞增，在區間內單調遞減.

故，由恆成立知，，，所以.

又的最大值為，由得，

所以.

設，則，所以在區間內單調遞增，於是，即.所以不等式恆成立.

綜上所述，所求的取值範圍是.

【點睛】本題考查導數的幾何意義及利用導數研究函數的單調*以及函數的最值的求法，構造新函數以及二次導數是解決函數恆成立問題常用的方法，考查轉化思想以及計算能力．

知識點：三角函數

題型：解答題