如圖,AB是⊙C的直徑,M、D兩點在AB的延長線上,E是⊙C上的點,且DE2=DB·DA.延長AE至F,使AE...
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問題詳情:
如圖,AB是⊙C的直徑,M、D兩點在AB的延長線上,E是⊙C上的點,且DE2=DB· DA.延長AE至F,使AE=EF,設BF=10,cos∠BED=.
(1)求*:△DEB∽△DAE;
(2)求DA,DE的長;
(3)若點F在B、E、M三點確定的圓上,求MD的長.
【回答】
(1)*見解析; (2)DA=,DE=;(3)MD=.
【解析】
(1)根據兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似進行判定即可;
(2)由直徑所對的圓周角是直角可得BE⊥AF,再根據中垂線的*質可得AB=BF=10,由△DEB ∽△DAE,cos ∠BED=,可得cos ∠EAD = ,在Rt△ABE中,解直角三角形可求得AE的長,BE的長,再由△DEB ∽△DAE,根據相似三角形的對應邊成比例可得 , 結合DB=DA-AB即可求得AD、DE的長;
(3)連接FM,根據∠BEF=90°,根據90度角所對的弦是直徑可確定出BF是B、E、F三點確定的圓的直徑,再根據點F在B、E、M三點確定的圓上,可得四點F、E、B、M在同一個圓上,繼而確定出點M在以BF為直徑的圓上,在Rt△AMF中,由cos ∠FAM=可求得AM的長,再根據MD=DA-AM即可求得*.
【詳解】
(1)DE2=DB·DA,
∴,
又∵∠D=∠D,
∴△DEB∽△DAE;
(2)∵AB是⊙C的直徑,E是⊙C上的點,
∴∠AEB=90°,即BE⊥AF,
又∵AE=EF,BF=10,
∴AB=BF=10,
∵△DEB ∽△DAE,cos ∠BED=,
∴∠EAD=∠BED,cos ∠EAD =cos ∠BED=,
在Rt△ABE中,由於AB=10,cos ∠EAD=,得AE=ABcos∠EAD=8,
∴,
∵△DEB ∽△DAE,
∴,
∵DB=DA-AB=DA-10,
∴,解得,
經檢驗,是的解,
∴DA=,DE=;
(3)連接FM,
∵BE⊥AF,即∠BEF=90°,
∴BF是B、E、F三點確定的圓的直徑,
∵點F在B、E、M三點確定的圓上,即四點F、E、B、M在同一個圓上,
∴點M在以BF為直徑的圓上,
∴FM⊥AB,
在Rt△AMF中,由cos ∠FAM=得
AM=AFcos ∠FAM =2AEcos ∠EAB=2×8×=,
∴MD=DA-AM=.
【點睛】
本題考查了相似三角形的判定與*質,確定圓條件,圓周角定理的推論,解直角三角形等知識,綜合*較強,有一定的難度,正確添加輔助線,靈活運用相關知識是解題的關鍵.注意數形結合思想的運用.
知識點:圓的有關*質
題型:解答題
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