在研究某市場交通情況時,道路密度是指該路段上一定時間內通過的車輛數除以時間,車輛密度是該路段一定時間內通過的車...
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問題詳情:
在研究某市場交通情況時,道路密度是指該路段上一定時間內通過的車輛數除以時間,車輛密度是該路段一定時間內通過的車輛數除以該路段的長度,現定義交通流量為v=,x為道路密度,q為車輛密度.
v=f(x)=.
(1)若交通流量v>95,求道路密度x的取值範圍;
(2)已知道路密度x=80,交通流量v=50,求車輛密度q的最大值.
【回答】
(1)(3,40) (2)
【解析】解:(1)∵v=,∴v越大,x越小,
∴v=f(x)是單調遞減函數,k>0,
當40≤x≤80時,v最大為85,
於是只需令100−135•()x>95,解得x>3,
故道路密度x的取值範圍為(3,40).
(2)把x=80,v=50代入v=f(x)=-k(x-40)+85中,
得50=-k•40+85,解得k=.
∴q=vx=,
當0<x<40時,q單調遞增,q<100×40-135×()40×40≈4000;
當40≤x≤80時,q是關於x的二次函數,開口向下,對稱軸為x=,
此時q有最大值,為−×()2+120×=>4000.
故車輛密度q的最大值為
【考點】根據實際問題選擇函數類型.幾類不同增長的函數模型的特點
【專題】分類討論;數學模型法;函數的*質及應用;邏輯推理.
【分析】(1)易知v越大,x越小,所以v=f(x)是單調遞減函數,k>0,於是只需令100−135•()x>95,解不等式即可;
(2)把x=80,v=50代入v=f(x)的解析式中,求出k的值,利用q=vx可得到q關於x的函數關係式,分段判斷函數的單調*,並求出各自區間上q的最大值,取較大者即可.
【點評】本題考查分段函數的實際應用,考查學生分析問題和解決問題的能力,以及運算能力,屬於中檔題.
知識點:函數的應用
題型:解答題
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