如圖,反比例函數y=的圖象與一次函數y=x的圖象交於點A、B,點B的橫座標是4.點P是第一象限內反比例函數圖象...
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問題詳情:
如圖,反比例函數y=的圖象與一次函數y=x的圖象交於點A、B,點B的橫座標是4.點P是第一象限內反比例函數圖象上的動點,且在直線AB的上方.
(1)若點P的座標是(1,4),直接寫出k的值和△PAB的面積;
(2)設直線PA、PB與x軸分別交於點M、N,求*:△PMN是等腰三角形;
(3)設點Q是反比例函數圖象上位於P、B之間的動點(與點P、B不重合),連接AQ、BQ,比較∠PAQ與∠PBQ的大小,並説明理由.
【回答】
【解答】解:(1)k=4,S△PAB=15.
提示:過點A作AR⊥y軸於R,過點P作PS⊥y軸於S,連接PO,
設AP與y軸交於點C,如圖1,
把x=4代入y=x,得到點B的座標為(4,1),
把點B(4,1)代入y=,得k=4.
解方程組,得到點A的座標為(﹣4,﹣1),
則點A與點B關於原點對稱,
∴OA=OB,
∴S△AOP=S△BOP,
∴S△PAB=2S△AOP.
設直線AP的解析式為y=mx+n,
把點A(﹣4,﹣1)、P(1,4)代入y=mx+n,
求得直線AP的解析式為y=x+3,
則點C的座標(0,3),OC=3,
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
=OCAR+OCPS
=×3×4+×3×1=,
∴S△PAB=2S△AOP=15;
(2)過點P作PH⊥x軸於H,如圖2.
B(4,1),則反比例函數解析式為y=,
設P(m,),直線PA的方程為y=ax+b,直線PB的方程為y=px+q,
聯立,解得直線PA的方程為y=x+﹣1,
聯立,解得直線PB的方程為y=﹣x++1,
∴M(m﹣4,0),N(m+4,0),
∴H(m,0),
∴MH=m﹣(m﹣4)=4,NH=m+4﹣m=4,
∴MH=NH,
∴PH垂直平分MN,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形;
(3)∠PAQ=∠PBQ.
理由如下:
過點Q作QT⊥x軸於T,設AQ交x軸於D,QB的延長線交x軸於E,如圖3.
可設點Q為(c,),直線AQ的解析式為y=px+q,則有
,
解得:,
∴直線AQ的解析式為y=x+﹣1.
當y=0時, x+﹣1=0,
解得:x=c﹣4,
∴D(c﹣4,0).
同理可得E(c+4,0),
∴DT=c﹣(c﹣4)=4,ET=c+4﹣c=4,
∴DT=ET,
∴QT垂直平分DE,
∴QD=QE,
∴∠QDE=∠QED.
∵∠MDA=∠QDE,
∴∠MDA=∠QED.
∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA,∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED,
∴∠PAQ=∠PBQ.
知識點:反比例函數
題型:綜合題
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