閲讀材料:各類方程的解法求解一元一次方程,根據等式的基本*質,把方程轉化為x=a的形式.求解二元一次方程組,把...
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問題詳情:
閲讀材料:各類方程的解法
求解一元一次方程,根據等式的基本*質,把方程轉化為x=a的形式.求解二元一次方程組,把它轉化為一元一次方程來解;類似的,求解三元一次方程組,把它轉化為解二元一次方程組.求解一元二次方程,把它轉化為兩個一元一次方程來解.求解分式方程,把它轉化為整式方程來解,由於“去分母”可能產生增根,所以解分式方程必須檢驗.各類方程的解法不盡相同,但是它們有一個共同的基本數學思想轉化,把未知轉化為已知.
用“轉化”的數學思想,我們還可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2﹣2x=0,可以通過因式分解把它轉化為x(x2+x﹣2)=0,解方程x=0和x2+x﹣2=0,可得方程x3+x2﹣2x=0的解.
(1)問題:方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= ;
(2)拓展:用“轉化”思想求方程=x的解;
(3)應用:如圖,已知矩形草坪ABCD的長AD=8m,寬AB=3m,小華把一根長為10m的繩子的一端固定在點B,沿草坪邊沿BA,AD走到點P處,把長繩PB段拉直並固定在點P,然後沿草坪邊沿PD、DC走到點C處,把長繩剩下的一段拉直,長繩的另一端恰好落在點C.求AP的長.
【回答】
【解答】解:(1)x3+x2﹣2x=0,
x(x2+x﹣2)=0,
x(x+2)(x﹣1)=0
所以x=0或x+2=0或x﹣1=0
∴x1=0,x2=﹣2,x3=1;
故*為:﹣2,1;
(2)=x,
方程的兩邊平方,得2x+3=x2
即x2﹣2x﹣3=0
(x﹣3)(x+1)=0
∴x﹣3=0或x+1=0
∴x1=3,x2=﹣1,
當x=﹣1時,==1≠﹣1,
所以﹣1不是原方程的解.
所以方程=x的解是x=3;
(3)因為四邊形ABCD是矩形,
所以∠A=∠D=90°,AB=CD=3m
設AP=xm,則PD=(8﹣x)m
因為BP+CP=10,
BP=,CP=
∴+=10
∴=10﹣
兩邊平方,得(8﹣x)2+9=100﹣20+9+x2
整理,得5=4x+9
兩邊平方並整理,得x2﹣8x+16=0
即(x﹣4)2=0
所以x=4.
經檢驗,x=4是方程的解.
答:AP的長為4m.
【點評】本題考查了轉化的思想方法,一元二次方程的解法.解無理方程是注意到驗根.解決(3)時,根據勾股定理和繩長,列出方程是關鍵.
知識點:各地中考
題型:解答題
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