閲讀與思考婆羅摩笈多(Brahmagupta),是一位印度數學家和天文學家,書寫了兩部關於數學和天文學的書籍,...
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問題詳情:
閲讀與思考
婆羅摩笈多(Brahmagupta),是一位印度數學家和天文學家,書寫了兩部關於數學和天文學的書籍,他的一些數學成就在世界數學史上有較高的地位,他的負數概念及加減法運算僅晚於*《九章算術》,而他的負數乘除法法則在全世界都是領先的,他還提出了著名的婆羅摩笈多定理,該定理的內容及部分*過程如下:
已知:如圖1,四邊形ABCD內接於⊙O,對角線AC⊥BD於點P,PM⊥AB於點M,延長MP交CD於點N,求*:CN=DN.
*:在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB,
∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°.
∴∠BAP=∠BPM.
∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC.
∴…
(1)請你閲讀婆羅摩笈多定理的*過程,完成剩餘的*部分.
(2)已知:如圖2,△ABC內接於⊙O,∠B=30°,∠ACB=45°,AB=2,點D在⊙O上,∠BCD=60°,連接AD,與BC交於點P,作PM⊥AB於點M,延長MP交CD於點N,則PN的長為 .
【回答】
【考點】三角形的外接圓與外心;含30度角的直角三角形;圓內接四邊形的*質.
【分析】(1)由直角三角形的*質∠BAP=∠BPM.由圓周角定理得出∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC.*出∠DPN=∠PDN,得出DN=PN,同理CN=PN,即可得出結論;
(2)由圓周角定理得出∠D=∠B=30°,由三角形內角和定理求出∠DAC=45°,得出△APC是等腰直角三角形,∴PA=PC,∠CPD=90°,由AAS*△CPD≌△APB,得出CD=AB=2,同(1)得出CN=DN,由三角形內角和定理得出PN=CD=1即可.
【解答】解:(1)在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB,
∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°.
∴∠BAP=∠BPM.
∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC.
∴∠DPN=∠PDN,
∴DN=PN,
同理:CN=PN,
∴CN=DN;
(2)∵∠ACB=45°,∠BCD=60°,
∴∠ACD=45°+60°=105°,
又∵∠D=∠B=30°,
∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°,
∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°,△APC是等腰直角三角形,
∴PA=PC,∠CPD=90°,
在△CPD和△APB中,,
∴△CPD≌△APB(AAS),
∴CD=AB=2,
∵∠CPD=90°,PM⊥AB於點M,延長MP交CD於點N,
∴同(1)得:CN=DN,
∴PN=CD=1;
故*為:1.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:綜合題
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