．已知函數f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值範圍...

問題詳情：

．已知函數f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．

（1）若函數f（x）在[1，2]上是減函數，求實數a的取值範圍；

（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在實數a，當x∈（0，e]（e是自然常數）時，函數g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，説明理由；

（3）當x∈（0，e]時，*：．

【回答】

【考點】6B：利用導數研究函數的單調*；6E：利用導數求閉區間上函數的最值．

【分析】（1）先對函數f（x）進行求導，根據函數f（x）在[1，2]上是減函數可得到其導函數在[1，2]上小於等於0應該恆成立，再結合二次函數的*質可求得a的範圍．

（2）先假設存在，然後對函數g（x）進行求導，再對a的值分情況討論函數g（x）在（0，e]上的單調*和最小值取得，可知當a=e2能夠保*當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．

（3）令F（x）=e2x﹣lnx結合（2）中知F（x）的最小值為3，再令並求導，再由導函數在0＜x≤e大於等於0可判斷出函數ϕ（x）在（0，e]上單調遞增，從而可求得最大值也為3，即有成立，即成立．

【解答】解：（1）在[1，2]上恆成立，

令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，

得

（2）假設存在實數a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3， =

①當a≤0時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（捨去），

②當時，g（x）在上單調遞減，在上單調遞增

∴，a=e2，滿足條件．

③當時，g（x）在（0，e]上單調遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（捨去），

綜上，存在實數a=e2，使得當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．

（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3．

令，，

當0＜x≤e時，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上單調遞增

∴

∴，即＞（x+1）lnx．

知識點：導數及其應用

題型：解答題