如圖，矩形OABC中，點O為原點，點A的座標為（0，8），點C的座標為（6，0）．拋物線經過A、C兩點，與AB...

問題詳情：

如圖，矩形OABC中，點O為原點，點A的座標為（0，8），點C的座標為（6，0）．拋物線經過A、C兩點，與AB邊交於點D．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP，連接PQ，設CP=m，△CPQ的面積為S．

①求S關於m的函數表達式，並求出m為何值時，S取得最大值；

②當S最大時，在拋物線的對稱軸l上若存在點F，使△FDQ為直角三角形，請直接寫出所有符合條件的F的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

（1）；（2）①，當m=5時，S取最大值；②滿足條件的點F共有四個，座標分別為，，，，

【分析】

（1）將A、C兩點座標代入拋物線y=-x2+bx+c，即可求得拋物線的解析式； （2）①先用m表示出QE的長度，進而求出三角形的面積S關於m的函數； ②直接寫出滿足條件的F點的座標即可，注意不要漏寫．

【詳解】

解：（1）將A、C兩點座標代入拋物線，得 ，

解得： ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6，

∴AC= =10，

過點Q作QE⊥BC與E點，則sin∠ACB = = =，

∴ =，

∴QE=（10﹣m），

∴S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m；

②∵S=•CP•QE=m×（10﹣m）=﹣m2+3m=﹣（m﹣5）2+，

∴當m=5時，S取最大值；

在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，

∵拋物線的解析式為y=﹣x2+x+8的對稱軸為x=，

D的座標為（3，8），Q（3，4），

當∠FDQ=90°時，F1（，8），

當∠FQD=90°時，則F2（，4），

當∠DFQ=90°時，設F（，n），

則FD2+FQ2=DQ2，

即+（8﹣n）2++（n﹣4）2=16，

解得：n=6± ，

∴F3（，6+），F4（，6﹣），

滿足條件的點F共有四個，座標分別為

F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．

【點睛】

本題考查二次函數的綜合應用能力，其中涉及到的知識點有拋物線的解析式的求法拋物線的最值等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬於中檔題．

知識點：二次函數單元測試

題型：解答題