如圖8，PA、PB切⊙O於點A、B，PA＝4，∠APB＝60°，點E在上，且CD切⊙O於點E，交PA、PB於C...

問題詳情：

如圖8，PA、PB切⊙O於點A、B，PA＝4，∠APB＝60°，點E在上，且CD切⊙O於點E，交PA、PB於C、D兩點，則CD的最小值是　　　　　　．

【回答】

25題解析：連結AO、BO、CO、DO、EO，再連結PO交⊙O於點M，交CD於點N，過點P作PH⊥CD於點H．

∵PA、PB切⊙O於點A、B，

∴OA＝OB，PA＝PB，OA⊥AP，OB⊥BP，∠APO＝∠BPO．

∴S△AOP＝S△BOP．

又∵CD切⊙O於點E，

同理，S△AOC＝S△EOC，S△BOD＝S△EOD．

∴S四邊形AOBP＝2S△AOP，S四邊形AOBP＝S五邊形AOBDC＋S△PCD＝2S△DOC＋S△PCD．

∴2S△AOP＝2S△DOC＋S△PCD．

即　2×AO×AP＝2×CD×OE＋CD×PH．

在△AOP中，∠OAP＝90°，PA＝4，∠APO＝∠APB＝×60°＝30°．

∴OA＝tan∠APO×AP＝tan30°×4＝，OP＝．

∴OE＝．

∴×4＝CD（＋PH）．

∴　  　CD＝．

∵PH≤PN≤PM，當點E與M重合時，H、N也與M重合，取等號．

∴當PH＝OP－OM＝－＝時，CD最小，最小值為．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：填空題