（教材呈現）下圖是華師版八年級下冊數學教材第121頁的部分內容．1.把一張矩形紙片如圖那樣折一下，就可以裁出正...

問題詳情：

（教材呈現）下圖是華師版八年級下冊數學教材第121頁的部分內容．

1.把一張矩形紙片如圖那樣折一下，就可以裁出正方形紙片，為什麼？

（問題解決）（1）如圖①，已知矩形紙片，將矩形紙片沿過點的直線摺疊，使點落在邊上，點的對應點為，摺痕為，點在上．求*：四邊形是正方形．

（規律探索）（2）由（問題解決）可知，圖①中的為等腰三角形．現將圖①中的點沿向右平移至點處（點在點的左側），如圖②，摺痕為，點在上，點在上，那麼還是等腰三角形嗎？請説明理由．

（結論應用）（3）在圖②中，當時，將矩形紙片繼續摺疊如圖③，使點與點重合，摺痕為，點在上．要使四邊形為菱形，則___________．

【回答】

（1）見解析；（2）是等腰三角形，見解析；（3）

【解析】

（1）由題意根據鄰邊相等的矩形是正方形進行分析*即可．

（2）根據題意*∠QFP=∠FPQ即可解決問題．

（3）由題意*△PFQ，△PGA都是等邊三角形，設QF=m，求出AB，AD（用m表示）即可解決問題．

【詳解】

解：（1）*：如圖①中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADA′=90°，

由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°，

∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°，

∴四邊形AEA′D是矩形，

∵DA=DA′，

∴四邊形AEA′D是正方形．

（2）結論：△PQF是等腰三角形．

理由：如圖②中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，

∴∠QFP=∠APF，

由翻折可知，∠APF=∠FPQ，

∴∠QFP=∠FPQ，

∴QF=QP，

∴△PFQ是等腰三角形．

（3）如圖③中，

∵四邊形PGQF是菱形，

∴PG=GQ=FQ=PF，

∵QF=QP，

∴△PFQ，△PGQ都是等邊三角形，設QF=m，

∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°，

∴∠DQD′=30°，

∵∠D′=90°，

∴，

由翻折可知，，

∴，

∴．

故*為：．

【點睛】

本題屬於四邊形綜合題，考查矩形的*質，正方形的判定和*質，菱形的*質，解直角三角形，等邊三角形的判定和*質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題