已知球的半徑為，則它的外切圓錐體積的最小值為

問題詳情：

已知球的半徑為，則它的外切圓錐體積的最小值為__________.

【回答】

【分析】

設出圓錐的高為，底面半徑為，在截面中，由球與圓錐相切可設出底面和母線SB的切點分別為C和D，接着由三角形的相似求得、、三者間的關係，然後將圓錐的體積表示成關於的函數，利用導函數求最值.

【詳解】

設圓錐的高為，底面半徑為，

在截面圖中，，，，

根據圓錐與球相切可知，、均為球與外切圓錐的切點，

則

又，，

，即，

，

圓錐體積為，

，

令可得，則

時，；時，，

在單調遞減，在單調遞增，

則.

故*為：.

【點睛】

本題考查了球的外切問題，圓錐的體積公式，導函數的實際應用問題，難度較大.

知識點：導數及其應用

題型：填空題