已知:A、B兩點在直線l的同一側,線段AO,BM均是直線l的垂線段,且BM在AO的右邊,AO=2BM,將BM沿...
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問題詳情:
已知:A、B兩點在直線l的同一側,線段AO,BM均是直線l的垂線段,且BM在AO的右邊,AO=2BM,將BM沿直線l向右平移,在平移過程中,始終保持∠ABP=90°不變,BP邊與直線l相交於點P.
(1)當P與O重合時(如圖2所示),設點C是AO的中點,連接BC.求*:四邊形OCBM是正方形;
(2)請利用如圖1所示的情形,求*:=;
(3)若AO=2,且當MO=2PO時,請直接寫出AB和PB的長.
【回答】
【解答】解:(1)∵2BM=AO,2CO=AO
∴BM=CO,
∵AO∥BM,
∴四邊形OCBM是平行四邊形,
∵∠BMO=90°,
∴▱OCBM是矩形,
∵∠ABP=90°,C是AO的中點,
∴OC=BC,
∴矩形OCBM是正方形.
(2)連接AP、OB,
∵∠ABP=∠AOP=90°,
∴A、B、O、P四點共圓,
由圓周角定理可知:∠APB=∠AOB,
∵AO∥BM,
∴∠AOB=∠OBM,
∴∠APB=∠OBM,
∴△APB∽△OBM,
∴
(3)當點P在O的左側時,如圖所示,
過點B作BD⊥AO於點D,
易*△PEO∽△BED,
∴
易*:四邊形DBMO是矩形,
∴BD=MO,OD=BM
∴MO=2PO=BD,
∴,
∵AO=2BM=2,
∴BM=,
∴OE=,DE=,
易*△ADB∽△ABE,
∴AB2=AD•AE,
∵AD=DO=DM=,
∴AE=AD+DE=
∴AB=,
由勾股定理可知:BE=,
易*:△PEO∽△PBM,
∴=,
∴PB=
當點P在O的右側時,如圖所示,
過點B作BD⊥OA於點D,
∵MO=2PO,
∴點P是OM的中點,
設PM=x,BD=2x,
∵∠AOM=∠ABP=90°,
∴A、O、P、B四點共圓,
∴四邊形AOPB是圓內接四邊形,
∴∠BPM=∠A,
∴△ABD∽△PBM,
∴,
又易*四邊形ODBM是矩形,AO=2BM,
∴AD=BM=,
∴=,
解得:x=,
∴BD=2x=2
由勾股定理可知:AB=3,BM=3
知識點:各地中考
題型:解答題
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