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問題詳情：
一球形人造衞星，其最大橫截面積為A、質量為m，在軌道半徑為R的高空繞地球做圓周運動。由於受到稀薄空氣阻力的作用，導致衞星運行的軌道半徑逐漸變小。衞星在繞地球運轉很多圈之後，其軌道的高度下降了△H，由於△H <<R，所以可以將衞星繞地球運動的每一圈均視為勻速圓周運動。設地球可看成質量為M的均勻球體，萬有引力常量為G。取無窮遠處為零勢能點，當衞星的運行軌道半徑為r時，衞星與地球組成的系統具有的勢能可表示為
。
（1）求人造衞星在軌道半徑為R的高空繞地球做圓周運動的週期；
（2）某同學為估算稀薄空氣對衞星的阻力大小，做出瞭如下假設：衞星運行軌道範圍內稀薄空氣的密度為ρ，且為恆量；稀薄空氣可看成是由彼此不發生相互作用的顆粒組成的，所有的顆粒原來都靜止，它們與人造衞星在很短時間內發生碰撞後都具有與衞*同的速度，在與這些顆粒碰撞的前後，衞星的速度可認為保持不變。在滿足上述假設的條件下，請推導：
①估算空氣顆粒對衞星在半徑為R軌道上運行時，所受阻力F大小的表達式；
②估算人造衞星由半徑為R的軌道降低到半徑為R-△H的軌道的過程中，衞星繞地球運動圈數n的表達式。
【回答】
解：（1）設衞星在R軌道運行的週期為T，
根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：
（2分）
解得：
（1分）
（2）①如圖所示，最大橫截面積為A的衞星，經過時間
從圖中的實線位置運動到了圖中的虛線位置，該空間區域的稀薄空氣顆粒的質量為
（1分）
以這部分稀薄空氣顆粒為研究對象，碰撞後它們都獲得了速度v，設飛船給這部分稀薄空氣顆粒的平均作用力大小為F，根據動量定理有：
（1分）
根據萬有引力定律和牛頓第二定律有：
，解得： 
根據牛頓第三定律，衞星所受的阻力大小F′=
。（1分）
②設衞星在R軌道運行時的速度為v動能為Ek1、勢能為Ep1、機械能為E1，
根據牛頓定律和萬有引力定律有：
衞星的動能
，勢能
解得：
衞星高度下降ΔH，在半徑為（R-ΔH）軌道上運行，
同理可知其機械能
衞星軌道高度下降ΔH，其機械能的改變量
（1分）
衞星機械能減少是因為克服空氣阻力做了功。設衞星在沿半徑為R的軌道運行一週過程中稀薄空氣顆粒作用於衞星的阻力做的功為W0，
利用小量累積的方法可知：
（1分）
上式表明衞星在繞不同軌道運行一週，稀薄空氣顆粒所施加的阻力做的功是一恆量，與軌道半徑無關。
則ΔE=nW0（1分）
解得：
（1分）
知識點：宇宙航行
題型：綜合題
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