如图,在四棱锥P-ABCD中,AB丄平面PAD,PD=AD,E为PB的中点,向量,点H在AD上,且(I):E...
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如图,在四棱锥P-ABCD中,AB丄平面PAD,PD=AD, E为PB的中点,向量,点H在AD上,且
(I):EF//平面PAD.
(II)若PH=,AD=2, AB=2, CD=2AB,
(1)求直线AF与平面PAB所成角的正弦值.
(2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.
【回答】
(Ⅰ) 取PA的中点Q,连结EQ、DQ,
则E是PB的中点,
,四边形EQDF为平行四边形,
,,
………………………………(3分)
(Ⅱ)⑴解法一:*: , PH⊥AD,
又 AB⊥平面PAD,平面PAD,AB⊥PH,
又 PHAD=H, PH⊥平面ABCD; ---------------------------------(4分)
连结AE
又且
………………………………(5分)
由(Ⅰ)知
………………………………(6分)
, 又
在
又
………………………………(8分)
(2)延长DA,CB交于点M,连接PM,则PM为平面PAD与平面PBC所成二面角的交线。…9分
因为,所以点A,B分别为DM,CM的中点,所以DM=4,
在中:,
,……………(10分)
又因为,所以,即为所求的二面角的平面角………(11分)
所以在中:…………………………(12分)
解法二:(向量法)(1)由(Ⅰ)可得 又
在平面ABCD内过点,以H为原点,以正方向建立空间直角坐标系
设平面PAB的一个法向量为
,
得y=0 令 得x=3
………………………………6分
设直线AF与平面PAB所成的角为
则
………………………………(8分 )
(2) 显然向量为平面PAD的一个法向量,且
设平面PBC的一个法向量为,
,, 由得到
由得到,令,则,所以, ---10
,所以平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角的余弦值为………………………(12分 )
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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