记min{x,y}=设f(x)=min{x2,x3},则( )A.存在t>0,|f(t)+f(﹣t)|>f(...
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记min{x,y}=设f(x)=min{x2,x3},则( )
A.存在t>0,|f(t)+f(﹣t)|>f(t)﹣f(﹣t)
B.存在t>0,|f(t)﹣f(﹣t)|>f(t)﹣f(﹣t)
C.存在t>0,|f(1+t)+f(1﹣t)|>f(1+t)+f(1﹣t)
D.存在t>0,|f(1+t)﹣f(1﹣t)|>f(1+t)﹣f(1﹣t)
【回答】
C【考点】分段函数的应用;函数与方程的综合运用.
【分析】求出f(x)的解析式,对t的范围进行讨论,依次判断各选项左右两侧函数的单调*和值域,从而得出*.
【解答】解:x2﹣x3=x2(1﹣x),
∴当x≤1时,x2﹣x3≥0,当x>1时,x2﹣x3<0,
∴f(x)=.
若t>1,则|f(t)+f(﹣t)|=|t2+(﹣t)3|=|t2﹣t3|=t3﹣t2,
|f(t)﹣f(﹣t)|=|t2+t3|=t2+t3,
f(t)﹣f(﹣t)=t2﹣(﹣t)3=t2+t3,
若0<t<1,|f(t)+f(﹣t)|=|t3+(﹣t)3|=0,
|f(t)﹣f(﹣t)|=|t3+t3|=2t3,
f(t)﹣f(﹣t)=t3﹣(﹣t)3=2t3,
当t=1时,|f(t)+f(﹣t)|=|1+(﹣1)|=0,
|f(t)﹣f(﹣t)|=|1﹣(﹣1)|=2,
f(t)﹣f(﹣t)=1﹣(﹣1)=2,
∴当t>0时,|f(t)+f(﹣t)|<f(t)﹣f(﹣t),|f(t)﹣f(﹣t)|=f(t)﹣f(﹣t),
故A错误,B错误;
当t>0时,令g(t)=f(1+t)+f(1﹣t)=(1+t)2+(1﹣t)3=﹣t3+4t2﹣t+2,
则g′(t)=﹣3t2+8t﹣1,令g′(t)=0得﹣3t2+8t﹣1=0,
∴△=64﹣12=52,∴g(t)有两个极值点t1,t2,
∴g(t)在(t2,+∞)上为减函数,
∴存在t0>t2,使得g(t0)<0,
∴|g(t0)|>g(t0),
故C正确;
令h(t)=(1+t)﹣f(1﹣t)=(1+t)2﹣(1﹣t)3=t3﹣2t2+5t,
则h′(t)=3t2﹣4t+5=3(t﹣)2+>0,
∴h(t)在(0,+∞)上为增函数,∴h(t)>h(0)=0,
∴|h(t)|=h(t),即|f(1+t)﹣f(1﹣t)|=f(1+t)﹣f(1﹣t),
故D错误.
故选C.
知识点:函数的应用
题型:选择题
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