已知抛物线。 (1)*:该抛物线与x轴总有两个不同的交点。 (2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A...
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已知抛物线 。
(1)*:该抛物线与x轴总有两个不同的交点。
(2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B,C三点都在圆P上。①试判断:不论m取任何正数,圆P是否经过y轴上某个定点?若是,求出该定点的坐标,若不是,说明理由; ②若点C关于直线 的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,△BDE的周长记为 ,圆P的半径记为 ,求 的值。
【回答】
(1)*:当抛物线与x轴相交时,令y=0,得: x2+mx-m-4=0 ∴△=m2+4(2m+4)=m2+8m+16=(m+4)2 ∵m>0, ∴(m+4)2>0, ∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点。 (2)解:①令y=x2+mx-2m-4=(x-2)(x+m+2)=0, 解得:x1=2,x2=-m-2, ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧), ∴A(2,0),B(-2-m,0), ∵抛物线与y轴交于点C, ∴C(0,-2m-4), 设⊙P的圆心为P(x0 , y0), 则x0= = , ∴P( ,y0), 且PA=PC,则PA2=PC2 , 则 解得 , ∴P( , ), ∴⊙P与y轴的另一交点的坐标为(0,b) 则 , ∴b=1, ∴⊙P经过y轴上一个定点,该定点坐标为(0,1) ②由①知,D(0,1)在⊙P上, ∵E是点C关于直线 的对称点,且⊙P的圆心P( , ), ∴E(-m,-2m-4)且点E在⊙P上, 即D,E,C均在⊙P上的点,且∠DCE=90°, ∴DE为⊙P的直径, ∴∠DBE=90°,△DBE为直角三角形, ∵D(0,1),E(-m,-2m-4),B(-2-m,0), ∴DB= , BE= = = ∴BE=2DB, 在Rt△DBE中,设DB=x,则BE=2x, ∴DE= = , ∴△BDE的周长l=DB+BE+DE=x+2x+ = ⊙P的半径r= = ∴ = =
【考点】一元二次方程根的判别式及应用,二次函数图像与坐标轴的交点问题,两点间的距离,勾股定理,圆周角定理
【解析】【分析】(1)当抛物线与x轴相交时,即y=0,根据一元二次方程根的判别式△=b2-4ac=m2+4(2m+4)=m2+8m+16=(m+4)2>0,从而得出该抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)①抛物线与x轴的两个交点,即y=0,因式分解得出A(2,0),B(-2-m,0);抛物线与y轴交点,即x=0,得出C(0,-2m-4);设⊙P的圆心为P(x0 , y0),由P为AB中点,得出P点横坐标,再PA=PC,根据两点间距离公式得出P点纵坐标,即P( , );设⊙P与y轴的另一交点的坐标为(0,b),根据中点坐标公式得b=1,即⊙P经过y轴上一个定点,该定点坐标为(0,1). ②由①知,D(0,1)在⊙P上,由)①知⊙P的圆心P( , ),由圆周角定理得△DBE为直角三角形,再根据两点间距离公式得DB= ,BE= ,由BE=2DB,在Rt△DBE中,设DB=x,则BE=2x,根据勾股定理得DE= ,由三角形周长公式得 △BDE的周长l= ,又⊙P的半径r= ,从而得出 值.
知识点:各地中考
题型:解答题
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