對於四面體A﹣BCD，有以下命題：①若AB=AC=AD，則AB，AC，AD與底面所成的角相等；②若AB⊥CD，...

問題詳情：

對於四面體A﹣BCD，有以下命題：①若AB=AC=AD，則AB，AC，AD與底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，則點A在底面BCD內的*影是△BCD的內心；③四面體A﹣BCD的四個面中最多有四個直角三角形；④若四面體A﹣BCD的6條稜長都為1，則它的內切球的表面積為．其中正確的命題是（　　）

A．①③      B．③④       C．①②③  D．①③④

【回答】

D【考點】2K：命題的真假判斷與應用．

【分析】對於①，根據線面角的定義即可判斷；

對於②，根據三垂線定理的逆定理可知，O是△BCD的垂心，

對於③在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角三角形的個數，

對於④作出正四面體的圖形，球的球心位置，說明OE是內切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內切球的表面積．

【解答】解：對於①，因為AB=AC=AD，設點A在平面BCD內的*影是O，因為sin∠ABO=，sin∠ACO=，sin∠ADO=，所以sin∠ABO=sin∠ACO=sin∠ADO，

則AB，AC，AD與底面所成的角相等；故①正確；

對於②設點A在平面BCD內的*影是O，則OB是AB在平面BCD內的*影，因為AB⊥CD，根據三垂線定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可*BD⊥OC，所以O是△BCD的垂心，故②不正確；

對於③：如圖：直接三角形的直角頂點已經標出，直角三角形的個數是4．故③正確

對於④，如圖O為正四面體ABCD的內切球的球心，正四面體的稜長為：1；

所以OE為內切球的半徑，BF=AF=，BE=，

所以AE==，

因為BO2﹣OE2=BE2，

所以（﹣OE）2﹣OE2=（）2，

所以OE=，

所以球的表面積為：4π•OE2=，故④正確．

故選D．

【點評】本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查了線面、面面垂直的判斷與*質，考查了學生的空間想象能力，是中檔題．

知識點：解三角形

題型：選擇題