如圖,在四稜錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,PD=4,M為PD的中點,E為...

問題詳情：

 如圖,在四稜錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠DAB=60°,PD=4,M為PD的中點,E為AM的中點,點F線上段PB上,且PF=3FB.

(1)求*:EF∥平面ABCD;

(2)若平面PDC⊥底面ABCD,且PD⊥DC,求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的餘弦值.

【回答】

(1)*取MD的中點N,連線EN,FN.

∵E為AM的中點,∴EN∥AD.

又M為PD的中點,N為MD的中點,∴PN=3ND.

∵PF=3FB,∴FN∥BD.

∵EN∩FN=N,AD∩BD=D,

∴平面ENF∥平面ABCD,

∵EF⊂平面ENF,∴EF∥平面ABCD.

(2)解∵平面PDC⊥平面ABCD,PD⊥DC,

∴PD⊥平面ABCD.

設AB的中點為G,以D為座標原點,DG為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角座標系,

則B(,1,0),C(0,2,0),P(0,0,4),則=(-,1,0),=(0,-2,4),

設平面PBC的法向量n=(x,y,z),

則

取x=2,得n=(2,2),

同理得平面PAD的法向量m=(,3,0),設平面PAD與平面PBC所成銳二面角為θ,則cosθ=,

∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的餘弦值為

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題