在正方形ABCD中,AB=4,E為BC中點,連線AE,點F為AE上一點,FE=2,FG⊥AE交DC於G,將GF...
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問題詳情:
在正方形ABCD中,AB=4,E為BC中點,連線AE,點F為AE上一點,FE=2,FG⊥AE交DC於G,將GF繞著G點逆時針旋轉使得F點正好落在AD上的點H處,過點H作HN⊥HG交AB於N點,交AE於M點,則S△MNF= .
【回答】
解:過B作BP⊥AE於P,
∵正方形ABCD中,AB=4,E為BC中點,
∴BE=BC=2,
∴AE==10,
∴BP===4,
∴PE===2,
∴EF=EP,
∴F與P重合,
∴B,F,G共線,
過F作OS⊥DC,交AB於O,DC於S,則OS⊥AB,
過F作FQ⊥BC於Q,
sin∠FBE==,=,
∴FQ=,
∴BQ=,
易得矩形OFQB,
∴FO=BQ=,
∴FS=4﹣=,AO=AB﹣OB=4﹣=,
∵GF⊥AE,
∴∠AFG=90°,
∴∠GFS+∠AFH=∠AFH+∠FAH,
∴∠GFS=∠FAB,
∴tan∠FAB=tan∠GFS==,
∴=,
∴GS=,
∴DG=DS﹣GS=AO﹣GS=﹣=2,
∵GH=GF,
∴DH2+DG2=GS2+FS2,
∴DH2+(2)2=()2+()2,
∴DH=4,
∴AH=4﹣4,
tan∠ANH=tan∠DHG==,
=,
AN=,
過M作MR⊥AB於R,
設MR=x,則AR=2x,
tan∠ANH=tan∠DHG==,
∴=,
∴RN=,
由AR+RN=AN得:2x+=,
x=6﹣2,
∴MR=6﹣2,
∴S△MNF=S△ANF﹣S△AMN=AN•FO﹣AN•MR=AN(FO﹣MR)=××(﹣6+2)=.
知識點:解直角三角形與其應用
題型:填空題
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