如圖20所示，質量為m的小球，由長為L的細線繫住，線能承受的最大拉力是9mg，細線的另一端固定在A點，AB是過...

問題詳情：

如圖 20 所示，質量為 m 的小球，由長為 L 的細線繫住，線能承受的最大 拉力是 9mg，細線的另一端固定在 A 點，AB 是過 A 的豎直線，E 為 A 正下方的一點，且 AE=0.5L，過 E 作水平線 EF，在 EF 上釘鐵釘 D，現將小球拉直水平，然後由靜止釋放， 小球在運動過程中，不計細線與釘子碰撞時的能量損失，不考慮小球與細線間的碰撞．

（1）若釘鐵釘位置在 E 點，請計算說明細線與釘子第一次碰撞後，細線是否會被拉斷？

（2）要使小球能繞鐵釘在豎直面內做完整的圓周運動，求釘子位置在水平線 EF 上距 E點距離的取值。

【回答】

（1）不會斷（2）≤x≤

·      解析： （1）小球釋放後沿圓周運動，運動過程中機械能守恆，設運動到最低點速度為v，由機械能守恆定律得 1分，碰釘子瞬間前後小球運動的速率不變，碰釘子前瞬間圓周運動半徑為l，碰釘子前瞬間線的拉力為F1，碰釘子後瞬間圓周運動半徑為l/2，碰釘子後瞬間線的拉力為F2，由圓周運動、牛頓第二定律得：， 1分

得 1分  繩子不會斷 1分

（2）設在D點繩剛好承受最大拉力，記DE=x1，則：AD=

懸線碰到釘子後，繞釘做圓周運動的半徑為：r1=l－AD= l－

當小球落到D點正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v1，由牛頓第二定律有：

F－mg=  1分   結合F≤9mg 

由機械能守恆定律得：mg (+r1)= mv12  2分

由上式聯立解得：x1≤    1分

隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運動的半徑越來越大．轉至最高點的臨界速度也越來越大，但根據機械能守恆定律，半徑r越大，轉至最高點的瞬時速度越小，當這個瞬時速度小於臨界速度時，小球就不能到達圓的最高點了．

設釘子在G點小球剛能繞釘做圓周運動到達圓的最高點，設EG=x2，

則：AG=        r2=l－AG= l－      在最高點：mg≤      由機械能守恆定律得：mg (—r2)= mv22    2分       聯立得：x2≥         2分

釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值範圍是：≤x≤    1分

知識點：專題三 力與物體的曲線運動

題型：綜合題