(1)(閱讀與*)如圖1,在正的外角內引*線,作點C關於的對稱點E(點E在內),連線,、分別交於點F、G.①...
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問題詳情:
(1)(閱讀與*)
如圖1,在正的外角內引*線,作點C關於的對稱點E(點E在內),連線,、分別交於點F、G.
①完成*:點E是點C關於的對稱點,
,,.
正中,,,
,得.
在中,,______.
在中,,______.
②求*:.
(2)(類比與探究)
把(1)中的“正”改為“正方形”,其餘條件不變,如圖2.類比探究,可得:
①______;
②線段、、之間存在數量關係___________.
(3)(歸納與拓展)
如圖3,點A在*線上,,,在內引*線,作點C關於的對稱點E(點E在內),連線,、分別交於點F、G.則線段、、之間的數量關係為__________.
【回答】
(1)①60°,30°;②*見解析;(2)①45°;②BF=(AF+FG);(3) .
【解析】(1)①根據等量代換和直角三角形的*質即可確定*;②在FB上取AN=AF,連線AN.先*△AFN是等邊三角形,得到 ∠BAN=∠2=∠1,然後再*△ABN≌△AEF,然後利用全等三角形的*質以及線段的和差即可*;
(2)類比(1)的方法即可作答;
(3)根據(1)(2)的結論,即可總結出*.
【詳解】解:(1)①∵,,
∴,即60°;
∵
∴
故*為60°,30°;
②在FB上取FN=AF,連線AN
∵∠AFN=∠EFG=60°
∴△AFN是等邊三角形
∴AF=FN=AN
∵FN=AF
∴∠BAC=∠NAF=60°
∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2
∴∠BAN=∠2
∵點C關於的對稱點E
∴∠2=∠1,AC=AE
∴∠BAN=∠2=∠1
∵AB=AC
∴AB=AE
在△ABN和△AEF
FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE
∴△ABN≌△AEF
∴BN=EF
∵AG⊥CE,∠FEG=30°
∴EF=2FG
∴BN=EF=2FG
∵BF=BN+NF
∴BF=2FG+AF
(2)①點E是點C關於的對稱點,
,,.
正方形ABCD中,,,
,得.
在中,,
45.
在中,,
45.
故*為45°;
②在FB上取FN=AF,連線AN
∵∠AFN=∠EFG=45°
∴△AFN是等腰直角三角形
∴∠NAF=90°,AF=AN
∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF
∴∠BAN=∠2
∵點C關於的對稱點E
∴∠2=∠1,AC=AE
∴∠BAN=∠2=∠1
∵AB=AC
∴AB=AE
在△ABN和△AEF
FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE
∴△ABN≌△AEF
∴BN=EF
∵AG⊥CE,∠FEG=45°
∴EF=FG
∴BN=EF=FG
∵BF=BN+NF
∴BF=FG+AF
(3)由(1)得:當∠BAC=60°時
BF=AF+2FG= ;
由(2)得:當∠BAC=90°時
BF=AF+2FG=;
以此類推,噹噹∠BAC= 60°時, .
【點睛】本題考查了軸對稱的*質、全等三角形的判定與*質、等腰三角形的判定與*質、等邊三角形的判定與*質以及三角函式的應用,靈活應用所學知識是解答本題的關鍵.
知識點:解直角三角形與其應用
題型:綜合題
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