如图,将一个等腰Rt△ABC对折,使∠A与∠B重合,展开后得折痕CD,再将∠A折叠,使C落在AB上的点F处,展...
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如图,将一个等腰Rt△ABC对折,使∠A与∠B重合,展开后得折痕CD,再将∠A折叠,使C落在AB上的点F处,展开后,折痕AE交CD于点P,连接PF、EF,下列结论:①tan∠CAE=﹣1;②图*有4对全等三角形;③若将△PEF沿PF翻折,则点E一定落在AB上;④PC=EC;⑤S四边形DFEP=S△APF.正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
D:全等三角形的判定与*质;PB:翻折变换(折叠问题).
【分析】①正确.作EM∥AB交AC于M.设CM=CE=a,则ME=AM=a,根据tan∠CAE=即可判断.
②正确.根据△CDA≌△CDB,△AEC≌△AEF,△APC≌△APF,△PEC≌△PEF即可判断.
③正确.由△PEC≌△PEF得到∠PFA=∠PFE=45°,由此即可判断.
④正确.只要*∠CPE=∠CEP=67.5°,
⑤错误.假设结论成立,推出矛盾即可.
【解答】解:①正确.作EM∥AB交AC于M.
∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵∠CAE=∠BAE=∠CAB=22.5°,
∴∠MEA=∠EAB=22.5°,
∴∠CME=45°=∠CEM,设CM=CE=a,则ME=AM=a,
∴tan∠CAE===﹣1,故①正确,
②正确.△CDA≌△CDB,△AEC≌△AEF,△APC≌△APF,△PEC≌△PEF,故②正确,
③正确.∵△PEC≌△PEF,
∴∠PCE=∠PFE=45°,
∵∠EFA=∠ACE=90°,
∴∠PFA=∠PFE=45°,
∴若将△PEF沿PF翻折,则点E一定落在AB上,故③正确.
④正确.∵∠CPE=∠CAE+∠ACP=67.5°,∠CEP=90°﹣∠CAE=67.5°,
∴∠CPE=∠CEP,
∴CP=CE,故④正确,
⑤错误.∵△APC≌△APF,
∴S△APC=S△APF,
假设S△APF=S四边形DFPE,则S△APC=S四边形DFPE,
∴S△ACD=S△AEF,
∵S△ACD=S△ABC,S△AEF=S△AEC≠S△ABC,
∴矛盾,假设不成立.
故⑤错误.
知识点:三角形全等的判定
题型:选择题
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