如图,一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100km的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在A市南偏东方向距...

问题详情：

如图,一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100 km的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在A市南偏东方向距A市500 km,且与海岸距离为300 km的海上B处有一艘快艇与汽车同时出发,要把一份文件交送给这辆汽车的司机.

(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把文件送到司机手中?

(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角.

(3)若快艇每小时最快行驶75 km,快艇全速行驶 ,应沿何种路线行驶才能尽快把文件交到司机手中,最快需多长时间?

【回答】

解 (1)如图①所示,设快艇以v km/h的速度从B处出发,沿BC方向行驶,t h后与汽车在C处相遇.

图①

在△ABC中,AB=500,AC=100t,BC=vt,BD为AC边上的高,BD=300.

设∠BAC=α,则sin α=,cos α=.

由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos α,

则v2t2=(100t)2+5002-2×500×100t×,

整理得v2=+10 000

=250 000+10 000-=250 000+3 600.

当,即t=时,=3 600,vmin=60.

即快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把文件送到司机手中.

(2)当v=60 km/h时,在△ABC中,AB=500,AC=100×=625,BC=60×=375.

由余弦定理,得cos∠ABC==0,

则∠ABC=90°.

故快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角为90°.

(3)如图②所示,设快艇以75 km/h的速度沿BE行驶,t h后与汽车在E处相遇.

图②

在△ABE中,AB=500,AE=100t,BE=75t,cos∠BAE=.

由余弦定理,得(75t)2=5002+(100t)2-2×500×100t×,

整理,得7t2-128t+400=0,解得t=4或t=(舍去).

当t=4时,AE=400,BE=300,AB2=AE2+BE2,

则∠AEB=90°.

故快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把文件交到司机手中,最快需要4 h.

7．

知识点：解三角形

题型：解答题