*批准从2009年起,将每年8月8日设置为“全民健身日”,为响应国家号召,各地利用已有土地资源建设健身场所...
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*批准从2009年起,将每年8月8日设置为“全民健身日”,为响应国家号召,各地利用已有土地资源建设健身场所.如图,有一个长方形地块,边为,为.地块的一角是草坪(图中*影部分),其边缘线是以直线为对称轴,以为顶点的抛物线的一部分.现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带,,分别在边,上(隔离带不能穿越草坪,且占地面积忽略不计),将隔离出的△作为健身场所.则△的面积为的最大值为____________(单位:).
【回答】
【解析】
【分析】
根据题意,目的是求三角形BEF的面积的最值,建立坐标系,设出点P的坐标,通过求曲线的切线方程,将点B,E,F的坐标均写出来,再表示出BE,BF的长度,即可得到面积的表达式,在对表达式求导研究单调*,进而得到最值.
【详解】如图,
以A为坐标原点O,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则C点坐标为(2,4),设边缘线所在抛物线的方程为,把(2,4)代入,得a=1,
所以抛物线的方程为.过的切线方程为,令,得 令x=2,得,故,所以,定义域为.
,
由得 所以S(t)在上是增
函数,由,得在上是减函数,所以S 在上有最大值.
故*为:.
【点睛】这个题目考查了函数的实际应用,以及导数在函数最值中的应用,一般实际应用题目,先通过读题理解题意,将实际问题转化为数学模型,用数学表达式将要求的表示出来,再借助数学工具解决最值或者其它问题.
知识点:导数及其应用
题型:填空题
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