“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本。”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国...

问题详情：

“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本。”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律。爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下：

当时，建立了与的两个回归模型：模型①： ；模型②：；当时，确定与满足的线*回归方程为：．

（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为亿元时的直接收益．

（附：刻画回归效果的相关指数，．）

（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于亿元时，国家给予公司补贴收益亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入亿元与亿元时公司实际收益的大小；

（附：用最小二乘法求线*回归方程的系数公式;）

（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率大幅提高，服从正态分布，]

公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．

（附：随机变量服从正态分布，则，．） 

【回答】

解：（1）由表格中的数据，有，即     1分

所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．······ 2分

所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为

（亿元）··········· 3分 

（2）由已知可得：，所以········ 4分

，所以·············· 5分

所以

所以当亿元时，与满足的线*回归方程为：····· 6分

所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值

所以当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元

所以技改造投入亿元时，公司的实际收益的更大·············· 7分

（3）因为

所以，·· 8分

因为，

所以··················· 9分

所以············· 10分

设每台发动机获得的奖励为（万元），则的分布列为：

所以每台发动机获得奖励的数学期望为（万元）  12分

知识点：统计

题型：解答题