设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　)A．充分而不必要条件    ...

问题详情：

设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的 (　　)

A．充分而不必要条件                  B．必要而不充分条件

C．充分必要条件                      D．既不充分也不必要条件

【回答】

A [解析]　方法1：由题意知|m|≠0，|n|≠0.

设m与n的夹角为θ.

若存在负数λ，使得m＝λn，

则m与n反向共线，θ＝180°，

∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.

当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.

故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．

故选A．

方法2：∵m＝λn，

∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.

∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.

反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈(，π]，

当〈m，n〉∈(，π)时，m，n不共线．

故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．

知识点：常用逻辑用语

题型：选择题