如图所示，A、B两城相距100km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气.已知D地距A城x...

问题详情：

如图所示，A、B两城相距100 km，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D给A、B两城供气.已知D地距A城x km，为保*城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y(万元)与A、B两地的供气距离(km)的平方和成正比.当天然气站D距A城的距离为40 km时，建设费用为1 300万元(供气距离指天然气站距到城市的距离).

(1)把建设费用y(万元)表示成供气距离x(km)的函数，并求定义域；

(2)天然气供气站建在距A城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？

【回答】

解　(1)由题意知D地距B地(100－x)km，则所以10≤x≤90.

设比例系数为k，则y＝k[x2＋(100－x)2](10≤x≤90)，

又x＝40时，y＝1300，所以1 300＝k(402＋602)，

即k＝，所以y＝[x2＋(100－x)2]＝(x2－100x＋5 000)(10≤x≤90).

(2)由于y＝(x2－100x＋5 000)

＝(x－50)2＋1 250，

所以当x＝50时，y有最小值为1 250万元.

所以当供气站建在距A城50 km处，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元【例1】 求*方程x·2x＝1至少有一个小于1的正根.

*　令f(x)＝x·2x－1，则f(x)的图象在R上是一条连续不断的曲线.

当x＝0时，f(0)＝0×20－1＝－1＜0，

当x＝1时，f(1)＝1×21－1＝1＞0，

∴f(0)·f(1)＜0，∴f(x)＝x·2x－1在区间(0，1)内至少有一个零点，故方程x·2x＝1至少有一个小于1的正根.

知识点：函数的应用

题型：解答题