已知函数y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）当a＞0时，若f（x）满足：y极小值=1，y极大...

问题详情：

已知函数y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）．

（1）当a＞0时，若f（x）满足：y极小值=1，y极大值=，试求f（x）的解析式；

（2）若x∈[0，1]时，y=f（x）图象上的任意一点处的切线斜率k满足：|k|≤1，求a的取值范围．

【回答】

【详解】（1）（x）=-3x2+2ax=0得x=0或x=．

a＞0时，x变化时f'（x），f（x）变化如下表：

所以f（0）=b=1，,解得a=1，b=1．故f（x）=-x3+x2+1；

（2）由题设x∈[0，1]时，恒有|k|=|f′（x）|≤1，

即-1≤-3x2+2ax≤1在x∈[0，1]上恒成立．

当x=0时，a∈R；

当x∈（0，1]时，由-3x2+2ax≥-1恒成立，即2ax≥3x2-1，

y=在（0，1]上为增函数

所以a≥1

另一方面，由-3x2+2ax≤1恒成立，所以（当且仅当x=时，取最值）．

综上所述：．

【点睛】本题考查函数极值，导数几何意义，不等式恒成立问题，准确计算是关键，是中档题

知识点：导数及其应用

题型：解答题