已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增...
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问题详情:
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增区间.
(2)将函数f(x)的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍,再将图象向右平移个单位,得到g(x)的图象,若存在x∈使得等式3g(x)+1=2[a+g2(x)]成立,求实数a的取值范围.
【回答】
【解析】(1)设函数f(x)的周期为T,由图象可知=-=.所以T=π,
即=π,又ω>0,解得ω=2.
所以f(x)=sin(2x+φ).
因为点在函数f(x)的图象上,
所以sin=1,即+φ=+2kπ,k∈Z,
解得φ=+2kπ,k∈Z.
又因为|φ|<,所以φ=.
所以f(x)=sin.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)经过图象变换,得到函数g(x)=f=sin x.
于是问题即为“存在x∈,使得等式3sin x+1=2(a+sin2x)成立”.
即2a=-2sin2x+3sin x+1在x∈上有解.
令t=sin x∈[0,1],则2a=-2t2+3t+1在t∈[0,1]上有解,
因为-2t2+3t+1=-2+∈,
所以2a∈,即实数a的取值范围为.
知识点:三角函数
题型:解答题
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