设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论正确的是 ( )A.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增B.函...
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设函数f(x)=x3-12x+b,则下列结论正确的是 ( )
A.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递增
B.函数f(x)在(-∞,-1)上单调递减
C.若b=-6,则函数f(x)的图象在点处的切线方程为y=10
D.若b=0,则函数f(x)的图象与直线y=10只有一个公共点
【回答】
C.因为f(x)=x3-12x+b,
所以f′(x)=3x2-12,
令f′(x)>0,即3x2-12>0,
所以x<-2或x>2,
所以函数f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上为增函数,
令f′(x)<0,即3x2-12<0,
所以-2<x<2,
所以函数f(x)在(-2,2)上为减函数,
所以排除A,B;
当b=-6时,f(x)=x3-12x-6,f(-2)=-8+24-6=10,所以曲线的切点为(-2,10),
因为f′(x)=3x2-12,所以k=f′(-2)=0,
所以y=10,故C正确;
当b=0时,f(x)=x3-12x,
所以f′(x)=3x2-12=0,所以x=±2,
所以函数f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上为增函数,在(-2,2)上为减函数,且f(-2)=16,f(2)=-16,
所以函数f(x)的极大值为16,极小值为-16,所以函数f(x)的图象与直线y=10有三个公共点,故D错.
知识点:*与函数的概念
题型:选择题
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