在△ABC中,已知D是BC边的中点,G是△ABC的重心,过G点的直线分别交AB、AC于点E、F.(1)如图1,...
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在△ABC中,已知D是BC边的中点,G是△ABC的重心,过G点的直线分别交AB、AC于点E、F. (1)如图1,当EF∥BC时,求*:+=1; (2)如图2,当EF和BC不平行,且点E、F分别在线段AB、AC上时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请给出*;如果不成立,请说明理由. (3)如图3,当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请给出*;如果不成立,请说明理由.
【回答】
(1)*:∵G是△ABC重心, ∴, 又∵EF∥BC, ∴,, 则; (2)解:(1)中结论成立,理由如下: 如图2,过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N,FE、CB的延长线相交于点M, 则△BME∽△ANE,△CMF∽△ANF, ,, ∴, 又∵BM+CM=BM+CD+DM, 而D是BC的中点,即BD=CD, ∴BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM, ∴, 又∵, ∴, 故结论成立; (3)解:(1)中结论不成立,理由如下: 当F点与C点重合时,E为AB中点,BE=AE, 点F在AC的延长线上时,BE>AE, ∴,则, 同理:当点E在AB的延长线上时,, ∴结论不成立. 【解析】
(1)根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可; (2)过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N,FE、CB的延长线相交于点M,得出△BME∽△ANE,△CMF∽△ANF,得出比例式解答即可; (3)分两种情况:当F点与C点重合时,E为AB中点,BE=AE;点F在AC的延长线上时,BE>AE,得出,则,同理:当点E在AB的延长线上时,,即可得出结论. 此题是相似三角形综合题,考查了相似三角形的判定与*质、三角形重心定理、平行线分线段成比例定理等知识;本题综合*强,熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理,*三角形相似是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:综合题
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