抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线l...
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抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为D.将抛物线位于直线l:y=t(t<)上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象.
(1)点A,B,D的坐标分别为 , , ;
(2)如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处.当点E在△ABC内(含边界)时,求t的取值范围;
(3)如图②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)当y=0时,有﹣x2+x﹣1=0,
解得:x1=,x2=3,
∴点A的坐标为(,0),点B的坐标为(3,0).
∵y=﹣x2+x﹣1=﹣(x2﹣x)﹣1=﹣(x﹣)2+,
∴点D的坐标为(,).
故*为:(,0);(3,0);(,).
(2)∵点E、点D关于直线y=t对称,
∴点E的坐标为(,2t﹣).
当x=0时,y=﹣x2+x﹣1=﹣1,
∴点C的坐标为(0,﹣1).
设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b,
将B(3,0)、C(0,﹣1)代入y=kx+b,
,解得:,
∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1.
∵点E在△ABC内(含边界),
∴,
解得:≤t≤.
(3)当x<或x>3时,y=﹣x2+x﹣1;
当≤x≤3时,y=x2﹣x+1.
假设存在,设点P的坐标为(m,0),则点Q的横坐标为m.
①当m<或m>3时,点Q的坐标为(m,﹣x2+x﹣1)(如图1),
∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,
∴CP⊥PQ,
∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(﹣m2+m)2=m2+1+m2+(﹣m2+m﹣1)2,
整理,得:m1=,m2=,
∴点P的坐标为(,0)或(,0);
②当≤m≤3时,点Q的坐标为(m,x2﹣x+1)(如图2),
∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,
∴CP⊥PQ,
∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(m2﹣m+2)2=m2+1+m2+(m2﹣m+1)2,
整理,得:11m2﹣28m+12=0,
解得:m3=,m4=2,
∴点P的坐标为(,0)或(1,0).
综上所述:存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为(,0)、(,0)、(1,0)或(,0).
知识点:各地中考
题型:综合题
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