(1)问题如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求*:AD•BC=AP•...
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(1)问题
如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求*:AD•BC=AP•BP.
(2)探究
如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.
(3)应用
请利用(1)(2)获得的经验解决问题:
如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度,由点A出了,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A,设点P的运动时间为t(秒),当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切时,求t的值.
【回答】
【考点】相似形综合题;切线的*质.
【专题】压轴题;探究型.
【分析】(1)如图1,由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可*到△ADP∽△BPC,然后运用相似三角形的*质即可解决问题;
(2)如图2,由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC,即可*到△ADP∽△BPC,然后运用相似三角形的*质即可解决问题;
(3)如图3,过点D作DE⊥AB于点E,根据等腰三角形的*质可得AE=BE=3,根据勾股定理可得DE=4,由题可得DC=DE=4,则有BC=5﹣4=1.易*∠DPC=∠A=∠B.根据AD•BC=AP•BP,就可求出t的值.
【解答】解:(1)如图1,
∵∠DPC=∠A=∠B=90°,
∴∠ADP+∠APD=90°,
∠BPC+∠APD=90°,
∴∠ADP=∠BPC,
∴△ADP∽△BPC,
∴=,
∴AD•BC=AP•BP;
(2)结论AD•BC=AP•BP仍然成立.
理由:如图2,
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.
∵∠DPC=∠A=∠B=θ,
∴∠BPC=∠ADP,
∴△ADP∽△BPC,
∴=,
∴AD•BC=AP•BP;
(3)如图3,
过点D作DE⊥AB于点E.
∵AD=BD=5,AB=6,
∴AE=BE=3.
由勾股定理可得DE=4.
∵以点D为圆心,DC为半径的圆与AB相切,
∴DC=DE=4,
∴BC=5﹣4=1.
又∵AD=BD,
∴∠A=∠B,
∴∠DPC=∠A=∠B.
由(1)、(2)的经验可知AD•BC=AP•BP,
∴5×1=t(6﹣t),
解得:t1=1,t2=5,
∴t的值为1秒或5秒.
【点评】本题是对K型相似模型的探究和应用,考查了相似三角形的判定与*质、切线的*质、等腰三角形的*质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的*质、解一元二次方程等知识,以及运用已有经验解决问题的能力,渗透了特殊到一般的思想.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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