已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的...

问题详情：

已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．

【回答】

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，

∴

∴b=

∴椭圆C的方程为；

（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，

∴|MN|==

∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为

∴△AMN的面积S=

∵△AMN的面积为，

∴

∴k=±1．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题