已知椭圆C：＝1和点P(1,2)，直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方...

问题详情：

已知椭圆C：＝1和点P(1,2)，直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．

【回答】

解：设弦中点为M(x，y)，交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．

∴(y2－y1)(x－1)＝(x2－x1)(y－2)，①

由＋＝1，＋＝1两式相减得

＝0.

又x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，

由①②可得：9x2＋16y2－9x－32y＝0，③

当点M与点P重合时，点M坐标为(1,2)适合方程③，

∴弦中点的轨迹方程为：9x2＋16y2－9x－32y＝0.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题