已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,抛物线的顶点为D点,点A的坐标为(﹣1,0)...
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已知抛物线y=x2﹣2x+c与x轴交于A.B两点,与y轴交于C点,抛物线的顶点为D点,点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求D点的坐标;
(2)如图1,连接AC,BD并延长交于点E,求∠E的度数;
(3)如图2,已知点P(﹣4,0),点Q在x轴下方的抛物线上,直线PQ交线段AC于点M,当∠PMA=∠E时,求点Q的坐标.
【回答】
解:(1)把x=﹣1,y=0代入y=x2﹣2x+c得:1+2+c=0
∴c=﹣3
∴y=x2﹣2x﹣3=y=(x﹣1)2﹣4
∴顶点坐标为(1,﹣4);
(2)如图1,连接CD、CB,过点D作DF⊥y轴于点F,
由x2﹣2x﹣3=0得x=﹣1或x=3
∴B(3,0)
当x=0时,y=x2﹣2x﹣3=﹣3
∴C(0,﹣3)
∴OB=OC=3
∵∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°,
BC=3
又∵DF=CF=1,∠CFD=90°,
∴∠FCD=45°,CD=,
∴∠BCD=180°﹣∠OCB﹣∠FCD=90°.
∴∠BCD=∠COA
又∵
∴△DCB∽△AOC,
∴∠CBD=∠OCA
又∵∠ACB=∠CBD+∠E=∠OCA+∠OCB
∴∠E=∠OCB=45°,
(3)如图2,设直线PQ交y轴于N点,交BD于H点,作DG⊥x轴于G点
∵∠PMA=45°,
∴∠EMH=45°,
∴∠MHE=90°,
∴∠PHB=90°,
∴∠DBG+∠OPN=90°
又∴∠ONP+∠OPN=90°,
∴∠DBG=∠ONP
又∵∠DGB=∠PON=90°,
∴△DGB=∠PON=90°,
∴△DGB∽△PON
∴
即:=
∴ON=2,
∴N(0,﹣2)
设直线PQ的解析式为y=kx+b
则
解得:
∴y=﹣x﹣2
设Q(m,n)且n<0,
∴n=﹣m﹣2
又∵Q(m,n)在y=x2﹣2x﹣3上,
∴n=m2﹣2m﹣3
∴﹣m﹣2=m2﹣2m﹣3
解得:m=2或m=﹣
∴n=﹣3或n=﹣
∴点Q的坐标为(2,﹣3)或(﹣,﹣).
知识点:相似三角形
题型:综合题
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