已知开口向下的抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴的交点为A、B两点(点A在点B的左边),与y轴的交点为C,OC...
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已知开口向下的抛物线y=ax2﹣2ax+3与x轴的交点为A、B两点(点A在点B的左边),与y轴的交点为C,OC=3OA
(1)请直接写出该抛物线解析式;
(2)如图,D为抛物线的顶点,连接BD、BC,P为对称轴右侧抛物线上一点.若∠ABD=∠BCP,求点P的坐标
(3)在(2)的条件下,M、N是抛物线上的动点.若∠MPN=90°,直线MN必过一定点,请求出该定点的坐标.
【回答】
【解析】(1)当x=0时,y=ax2﹣2ax+3=3,
∴C(0,3),OC=3OA=3,
∴OA=1,A(﹣1,0),
把点A(﹣1,0)代入抛物线解析式得:a+2a+3=0,
解得:a=﹣1,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)如图1,若点P在抛物线对称轴右侧且在x轴上方,
过点P作PE∥y轴交BC于点E,PF⊥BC于点F,过点D作DH⊥x轴于点H,
∴∠CFP=∠BHD=90°,
∵当y=﹣x2+2x+3=0时,解得:x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴顶点D(1,4),
∴DH=4,BH=3﹣1=2,
∴BD=,
∴Rt△BDH中,sin∠ABD=,
∵C(0,3)
∴BC=,PC=,
设直线BC解析式为y=kx+b,
∴,解得:,
∴直线BC解析式为y=﹣x+3,
设P(p,﹣p2+2p+3)(1<p<3),则E(p,﹣p+3),
∴PE=﹣p2+2p+3﹣(﹣p+3)=﹣p2+3p,
∵S△BCP=PE•OB=BC•PF,
∴PF=,
∵∠ABD=∠BCP,
∴Rt△CPF中,sin∠BCP==sin∠ABD=,
∴PF=PC,
∴PF2=PC2,
解得:p1=﹣1(舍去),p2=,
∴﹣p2+2p+3=,
∴点P坐标为(,)
如图2,若点P在x轴下方,
∵tan∠ABD==2>tan45°,
∴∠ABD>45°,
∵∠BCP<∠BOC即∠BCP<45°,
∴∠ABD与∠BCP不可能相等.
综上所述,点P坐标为(,);
(3)如图3,过P作PH∥y轴,分别过点M、N作MG⊥PH于G,NH⊥PH于H.
设直线MN的解析式为y=kx+n,M(x1,y1)、N(x2,y3),
令kx+n=﹣x2+2x+3,即=x2+(k﹣2)x+n﹣3=0,
∴x1+x2=2﹣k,x1x2=n﹣3,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2n=k(2﹣k)+2n,
y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+nk(x1+x2)+n2=﹣3k2+2nk+n2,
∵∠G=∠MPN=∠H,
∴△MPG∽△PNH,
∴ ,
∵P坐标为(,),
MG=﹣x1,PH=y1﹣,HN=,GP=,
∴,
整理,得,
∴,
解得 k1=﹣3n+,k2=,
∴直线MN;y=(﹣3n+)x+n=(﹣3x+1)n+,过定点(,);
或y=()x+n=()n+,过定点(,)即P点,舍去.
∴直线MN过定点(,).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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