已知函數在區間上是單調函數.（1）求實數的所有取值組成的*；（2）試寫出在區間上的最大值；（3）設，令，對任...

問題詳情：

已知函數在區間上是單調函數.

（1）求實數的所有取值組成的*；

（2）試寫出在區間上的最大值；

（3）設，令，對任意、，都有成立，求實數的取值範圍.

【回答】

（1）或；（2）；（3）.

【分析】

（1）對二次函數在區間上是增函數或減函數進行分類討論，結合二次函數的基本*質可求得實數的取值範圍，由此可得出*；

（2）利用（1）中的結論可求得關於的表達式；

（3）作出函數的圖象，由題意可知，當時，，對實數的取值進行分類討論，數形結合可得出和，進而可得出關於實數的不等式，由此可解得實數的取值範圍.

【詳解】

（1）二次函數的圖象開口向上，對稱軸爲直線.

①若函數在區間上爲增函數，則，解得；

②若函數在區間上爲減函數，則，解得.

綜上所述，或；

（2）由（1）可知，當時，函數在區間上爲增函數，則；

當時，函數在區間上爲減函數，則.

綜上所述，；

（3）由已知條件可得.

對任意的、，都有成立，則.

作出函數的圖象如下圖所示：

由題意可得，

①當時，在上單調遞減，，，

所以，，解得，不合乎題意；

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增，，，

所以，，解得，此時；

③當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

，，

所以，，整理得，

解得或，此時；

④當時，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

由圖象可得，，

所以，，解得，此時；

⑤當時，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

由圖形可知，，，

所以，，解得，此時.

綜上所述，實數的取值範圍是.

【點睛】

二次函數在閉區間上的最值主要有三種類型：軸定區間定、軸動區間定、軸定區間動，不論哪種類型，解題的關鍵是對稱軸與區間的關係，當含有參數時，要依據對稱軸與區間的關係進行分類討論．

知識點：基本初等函數I

題型：解答題