某工廠用50天時間生產一款新型節能產品，每天生產的該產品被某網店以每件80元的價格全部訂購，在生產過程中，由於...

問題詳情：

某工廠用50天時間生產一款新型節能產品，每天生產的該產品被某網店以每件80元的價格全部訂購，在生產過程中，由於技術的不斷更新，該產品第x天的生產成本y（元/件）與x（天）之間的關係如圖所示，第x天該產品的生產量z（件）與x（天）滿足關係式z＝﹣2x+120．

（1）第40天，該廠生產該產品的利潤是　   　元；

（2）設第x天該廠生產該產品的利潤爲w元．

①求w與x之間的函數關係式，並指出第幾天的利潤最大，最大利潤是多少？

②在生產該產品的過程中，當天利潤不低於2400元的共有多少天？

【回答】

【解答】解：

（1）由圖象可知，第40天時的成本爲40元，此時的產量爲z＝﹣2×40+120＝40

則第40天的利潤爲：（80﹣40）×40＝1600元

故*爲1600

（2）①

設直線AB的解析式爲y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得

，解得

∴直線AB的解析式爲y＝﹣x+70

（Ⅰ）當0＜x≤30時

w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120）

＝﹣2x2+100x+1200

＝﹣2（x﹣25）2+2450

∴當x＝25時，w最大值＝2450

（Ⅱ）當30＜x≤50時，

w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800

∵w隨x的增大而減小

∴當x＝31時，w最大值＝2320

∴

第25天的利潤最大，最大利潤爲2450元

②（Ⅰ）當0＜x≤30時，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400元

解得x1＝20，x2＝30

∵拋物線w＝﹣2（x﹣25）2+2450開口向下

由其圖象可知，當20≤x≤30時，w≥2400

此時，當天利潤不低於2400元的天數爲：30﹣20+1＝11天

（Ⅱ）當30＜x≤50時，

由①可知當天利潤均低於2400元

綜上所述，當天利潤不低於2400元的共有11天．

【點評】本題考查了二次函數的*質在實際生活中的應用．最大銷售利潤的問題常利函數的增減*來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數模型，然後結合實際選擇最優方案．根據每天的利潤＝一件的利潤×銷售件數，建立函數關係式，此題爲數學建模題，藉助二次函數解決實際問題．

知識點：各地中考

題型：解答題