在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，AE=AB，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得∠EGB=∠EAB...

問題詳情：

在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，AE=AB，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG．

（1）如圖①，當EF與AB相交時，若∠EAB=60°，求*：EG=AG+BG；

（2）如圖②，當EF與CD相交時，且∠EAB=90°，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數量關係，並*你的結論．

【回答】

【考點】平行四邊形的*質；全等三角形的判定與*質．

【分析】（1）首先作∠GAH=∠EAB交GE於點H，易*得△ABG≌△AEH，又由∠EAB=60°，可*得△AGH是等邊三角形，繼而*得結論；

（2）首先作∠GAH=∠EAB交GE於點H，易*得△ABG≌△AEH，繼而可得△AGH是等腰直角三角形，則可求得*．

【解答】（1）*：如圖①，作∠GAH=∠EAB交GE於點H．

∴∠GAB=∠HAE．

∵∠EAB=∠EGB，∠APE=∠BPG，

∴∠ABG=∠AEH．

在△ABG和△AEH中，

，

∴△ABG≌△AEH（ASA）．

∴BG=EH，AG=AH．

∵∠GAH=∠EAB=60°，

∴△AGH是等邊三角形．

∴AG=HG．

∴EG=AG+BG；

（2）EG=AG﹣BG．

如圖②，作∠GAH=∠EAB交GE於點H．

∴∠GAB=∠HAE．

∵∠EGB=∠EAB=90°，

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°．

∴∠ABG=∠AEH．

∵又AB=AE，

∴△ABG≌△AEH．

∴BG=EH，AG=AH．

∵∠GAH=∠EAB=90°，

∴△AGH是等腰直角三角形．

∴AG=HG．

∴EG=AG﹣BG．

【點評】此題考查了平行四邊形的*質、矩形的*質、全等三角形的判定與*質、等邊三角形的判定與*質、等腰直角三角形的*質以及三角函數等知識．此題綜合*較強，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．

知識點：平行四邊形

題型：解答題