如圖,二次函數(a<0)與x軸交於A、C兩點,與y軸交於點B,P爲拋物線的頂點,連接AB,已知OA:OC...
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問題詳情:
如圖,二次函數 (a < 0) 與 x 軸交於 A、C 兩點,與 y 軸交於點 B,P 爲 拋物線的頂點,連接 AB,已知 OA:OC=1:3.
(1)求 A、C 兩點座標;
(2)過點 B 作 BD∥x 軸交拋物線於 D,過點 P 作 PE∥AB 交 x 軸於 E,連接 DE,
①求 E 座標;
②若 tan∠BPM=,求拋物線的解析式.
【回答】
(1)A(-1,0),C(3,0);(2)① E(-,0);②原函數解析式爲:.
【分析】
(1)由二次函數的解析式可求出對稱軸爲x=1,過點P作PE⊥x軸於點E,所以設A(-m,0),C(3m,0),結合對稱軸即可求出結果;
(2) ①過點P作PM⊥x軸於點M,連接PE,DE,先*△ABO△EPM得到,找出OE=,再根據A(-1,0)代入解析式得:3a+c=0,c=-3a,即可求出OE的長,則座標即可找到;
②設PM交BD於點N;根據點P(1,c-a),BN‖AC,PM⊥x軸表示出PN=-a,再由tan∠BPM=求出a,結合(1)知道c,即可知道函數解析式.
【詳解】
(1)∵二次函數爲:(a<0),
∴對稱軸爲,
過點P作PM⊥x軸於點M,
則M(1,0),M爲AC中點,
又OA:OC=1:3,
設A(-m,0),C(3m,0),
∴,
解得:m=1,
∴A(-1,0),C(3,0),
(2)①做圖如下:
∵PE∥AB,
∴∠BAO=∠PEM,
又∠AOB=∠EMP,
∴△ABO△EPM,
∴ ,
由(1)知:A(-1,0),C(3,0),M(1,0),B(0,c),P(1,c-a),
∴,
∴OE=,
將A(-1,0)代入解析式得:3a+c=0,
∴c=-3a,
∴ ,
∴E(-,0);
②
設PM交BD於點N;
∵(a<0),
∴x=1時,y=c-a,即點P(1,c-a),
∵BN‖AC,PM⊥x軸
∴NM= BO=c,BN=OM=1,
∴PN=-a,
∵tan∠BPM=,
∴tan∠BPM=,
∴PN=,
即a=-,
由(1)知c=-3a,
∴c=;
∴原函數解析式爲:.
【點睛】
此題考查了拋物線與x軸的交點;二次函數的*質,待定係數法求二次函數解析式.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題
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